मान लीजिए S_n = frac{1}{1^3} + frac{1 + 2}{1^ | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=1}^n k^3}$ द्वारा दिया गया है।मानक सूत्रों $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_

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$199$

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(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=1}^n k^3}$ द्वारा दिया गया है।मानक सूत्रों $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}ight)^2$ का उपयोग करने पर:$T_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(\frac{n(n+1)}{2}ight)^2} = \frac{2}{n(n+1)}$.हम $T_n$ को आंशिक भिन्न के रूप में $T_n = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}ight)$ लिख सकते हैं।अब,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = 2 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $S_n = 2 \left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ight) = 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} ight) = \frac{2n}{n+1}$.दिया गया है कि $100 S_n = n$,$S_n$ का मान रखने पर:$100 \left( \frac{2n}{n+1} ight) = n$.चूंकि $n 
eq 0$,$n$ से विभाजित करने पर:$\frac{200}{n+1} = 1 \implies n+1 = 200 \implies n = 199$.

मान लीजिए $S_n = \frac{1}{1^3} + \frac{1 + 2}{1^3 + 2^3} + \frac{1 + 2 + 3}{1^3 + 2^3 + 3^3} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}$ है। यदि $100 S_n = n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\prod\limits_{n = 1}^{10} {\left( {\frac{{6\sum\limits_{i = 0}^n i + 1}}{{6\sum\limits_{j = 0}^n {(j - 1)} + 1}}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n!$

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots$ $24$ पदों तक $=$

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